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数学の運転免許学科試験があったら

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群環体から

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1.有限個の指数有限の部分群の共通部分は、指数有限の部分群である。

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2. Aを環、MをA加群とする。Aのジャコブソン根基Jに含まれるあるイデアルIについて、IM＝Mが成り立つならば、M＝０である。

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3. 体と体のテンソル積は体である。

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4.DVRの素元はただ1つだけである。

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1.○ 2.× (A＝ℤp, M＝ℚpなど、中山の補題では有限生成の仮定を外すと反例がある)３.×(真の包含K⊂Lについて、LをK上テンソルしたら体ではない。なお、エタール代数同士のテンソル積はエタール代数である)

4.△:uniformizer,πは確かに素元なのだが、πu(uは単元)も素元。同伴を除いて１つという意味なら正しい。なお、DVRの特徴付けの1つに「素元が同伴を除いて一意なUFD」というものもある。