DVRの定義は色々あるけど、Local PID which is not a field、というのはノイキルヒ も採用しているわかりやすい特徴付けの1つ。p進整数環は代表的なDVRとして知られるが、改めてこの定義に照らしてp進整数環がDVRであることを示してみよう。

　任意のイデアルが単項であることを示す。Iを０でないイデアルとする。aをイデアルIの元でp進付値が最小のものとすると、I＝(a)となることを示す。

(a)⊂Iは明らかなので、I⊂(a)を示そう。∀b∈I,b/a∈Zpであるから、b∈(a)⊂Iより、I＝(a)である。よってp進整数環の任意のイデアルは単項であり、PIDであるとわかった。

　a＝p^nu(uは単元)とかけるから、（a)＝(p^nu)＝(p^n)である。後は、上の猫が言っているのと同様に、０でない素イデアルは（p）の身であり、局所環であることがわかる。体でないことは０以外にもpなどが可逆でないことからわかる。