お気に入りの具体例たちを並べました。たまにテキストの演習問題だったりします。

クイズ：分岐指数43,剰余指数４７の２０２１次拡大の例は？

↑与えられた自然数e,fに対して、eを分岐指数、fを剰余指数に持つ局所体の拡大はあって、例えば上のL_e,fがそう。Qp(μ_p^n-1)は不分岐拡大の例(ヘンゼル体の不分岐拡大は剰余体の分離拡大との間に全単射がある。)で、それと完全分岐拡大の合成でok。
クイズ：分岐指数が43,剰余指数が４７のQpの拡大の例を上げると（ア)である。
（答）上のL_43,47/Qp
なお、不分岐拡大は自動的にガロアだが、上のL_e,fはQ上ガロアとは限らない。

整数問題で射影平面？？

単位円Fp有理点の個数を求める問題。問題自体はとても初等整数論的で、実際別解は色々あるけれど、アフィン代数多様体だと思って、射影化して余分に出てくる無限遠点を引くというのがスッキリ。pを４で割ったあまりで答えが場合分けされるのは、２乗して−１になる数があるかどうかによって、無限遠点が2つになるか、1つもないかが分かれるからだったんだね。

ちなみに、射影化した後の有理点の位数を求める時は、種数gの代数曲線Cについて成り立つ｜#C(Fq)-(q＋1)｜≦2g√q でg＝０としても求まる。

答えは、スーパーシンギュラー！

上の続きでg＝１の場合。院試の口頭試問で聞かれた問題。楕円曲線のハッセの不等式の左辺が０になる楕円曲線としては、上のようにsupersingularな楕円曲線が例として上がる。逆に、左辺が０ならsupersingularな楕円曲線であることは、φ^が非分離であることからわかる。

pが２や３のときはsupersingularでもE/F3:y^2＝x^3-x−１みたいに、E(F3)＝{0}となってsupersingularだが＃E(F3)＝4とはならないケースもある。

玉河数の有限性の証明に群スキーム登場？

玉河数の有限性という命題がある。Kを離散付値体とする。E_0(K)は楕円曲線の点で還元した時に非特異点に移るもの全体のなすE(K)の部分群であるが、これは指数有限の部分群であるという命題である。楕円曲線へのn等分点やTate加群への惰性群の作用で楕円曲線の還元の様子がわかるというNeron off shafarevichの判定法というものがあるが、それの証明に用いられる。

また、E(Qp)は無限群だがE(Qp)/mE(Qp)(weak mordel weilの定理の証明に出てくる群)は有限集合であることが、玉河数の有限性からすぐわかる。

初等的に理解できる命題であるが、証明にはネロンモデルが用いられる。

Neron modelの定義からε(R)からE(K)への自然な単射が定義でき、これが全単射であることはNeron mapping property(略してNMPから従う).

なお、単射性についてはε(R)からr,s:SpecR→εをとって、自然な射SpecK→SpecRとの合成が生成点上スキームの射として一致することからもすぐわかる。分離性の付値判定法からわかると言っても良い。

有限群であることを示したい群E(K)/E0(K)は、εのspecial fiber ε~をそのidentity componentで割った群と同型であることが、Tate algorithmを用いることで示される。その商群が有限群であることは、代数群に対しそのidentity componentは指数有限であるという事実から従う。

参考文献　J.H.Silverman Advanced topis of the arithmetic of elliptic curves

ピタゴラス数とヒルベルト定理90

これはかなり有名な話だが、ピタゴラス数をヒルベルト定理９０という（元の問題に比べるとかなり）大がかなりな道具を使って求めるというもの。コサイクルを１つ上手く取ってくれば、それがコバウンダリになることから非自明な結果が出てくる。コサイクルをどう取るかが、問題。（＊)のコサイクルであることのチェックを書いておこう。

局所大域原理と山（シャー、テイトシャファレヴィッチ群）

シャファレヴィッチ群は局所大域原理の成り立たなさ具合を表しているとよく言われる。楕円曲線では、固定点があることから自明に局所大域原理が成り立っている。山が局所大域原理の差を測るとは、次の意味においてである。

「与えれた楕円曲線Eに対し、その任意のトーサー(torsoro)について局所大域原理が成り立つこととEのシャファレヴィッチ群が自明であることが同値になる。」

これが成り立つ理由は、ガロアコホモロジーを見ているだけではよくわからないのだけれども、トーサーの商集合とガロアコホモロジーを同一視するとよくわかる。その同型はキャノニカルに与えられるので、同型を辿ることでproofの上から３行目のような山の特長付けが得られることがポイント。

62.5%より多くの元の組が可換なら、アーベル群と断定して良い！？

１組でも非可換な元の組があれば非可換群というわけだが、逆に、いくつ非可換な組みがあれば、群は可換と断定できるのか?を問う問題である。上の不等式を示す問題が、スタンフォード大学大学院で出題されたことがある。S3で実験すると1/2、D4やQ8で実験すると5/8になるが、実は可換な確率なそれ以下。裏を返せば、5/8より多くの元の組みが非可換なら、アーベル群と断定しても良いということになり、なんだか不思議な感じがする。環ならどうなるかなども考えて見たい。別解と幾何的な拡張(https://arxiv.org/pdf/1205.4757.pdf)が面白そうなので今度時間が空いたら読んでみたい。

ガロア群に入る位相の基本近傍系

ガロア群にはクルル位相と呼ばれる、上の画像のU_σをσの基本近傍系とする位相が入る。つまり、「U⊆Gal(L/K)が開集合かどうか知りたければ、σ∈Uを任意にとって、σ∈U_σ⊆UなるU_σが取れることを言えばいい」ということを言っている。これによって、開集合が全て与えられる。

　無限次元ガロア拡大に入る位相、というと何か難しそうに聞こえるが、ユークリッド空間のεボールが定める位相と実質同じことをしているに過ぎない。アナロジーで言えば、εボールの中心がσ、半径に当たるのが中間体Mに対応している。
　クルル位相の定義で重要なのはK上Mが有限、という部分である(ガロアの条件は、ガロアに絞っておいたほうがMを取った時にGal(M/K)とかけるなど何かと便利だから)。MがLまで走れる時（有限次のとき）は離散位相になり、Lまで走れないとき（無限次元のとき）はp進位相やZ^の位相が出て来るという訳である。
　ガロア群の２つの元f,gが''近い''ことをあるK上有限な中間体Mに対しf｜M=g｜Mとなること定めている。このことが認識されれば、離散位相になるのと有限次が同値なのも、さらにクルル位相の定義で有限からガロアが出てくるのも自然である。

ガロア拡大Q(√2,√3)/Qとそのガロア群{1,σ,τ,στ}（σ:√2→-√2,τ:√3→-√3)クラインの四元群)を例にとると、U_1＝U_σ＝U_τ＝U_στ＝{1,σ,τ,στ}であり、基本近傍系のUnionは基底になるので、離散位相である。無限次元の場合は１点集合が開集合になれず、孤立点を持たない位相空間となる。

お気に入りの具体例たちを並べました。たまにテキストの演習問題だったりします。

​クイズ：分岐指数43,剰余指数４７の２０２１次拡大の例は？

​整数問題で射影平面？？

​答えは、スーパーシンギュラー！

玉河数の有限性の証明に群スキーム登場？

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